Capítulo 4 Regressão Básica
O coração de econometria é o modelo de regressão linear, estimado por Mínimos Quadrados Ordinários. Mas muitos outros métodos são úteis, como modelos logit, probit, variáveis instrumentais e modelos para painel. Este capítulo trata - finalmente! - de modelos de regressão no R.
##Mínimos quadrados ordinários
Suponha que carregamos uma base de dados (chamada dados), e que esta base tem as variáveis \(y, x.1,x.2,x.13\) e que nosso objetivo é estimar um modelo da forma: \(y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \epsilon\). O comando que faz estimativa por mínimos quadrados é o lm e para estimarmos a regressão proposta basta fazer:
reg <- lm(y ~ x.1 + x.2 + x.3 + x.4, data = dados)Usamos o ~ para separar a variável explicada (à esquerda do til) das explicativas (à direita do til), e para separar as explicativas usamos o +. A opção data diz ao R onde buscar as variáveis.
Agora, o objeto reg5 tem o modelo estimado. Para obter uma tabela usual de regressão, com valor do coeficiente, erro padrão, estatística t e p-valor, \(R^2\) ajustado, e o teste F para os coeficientes basta usar summary(reg). No contexto de regressão linear, podemos querer fazer uma série de coisas, que são explicadas a seguir.
Atenção: Séries Temporais e o lm
Objetos de série temporal são armazenados pelo R de uma maneira especial - uma vez que você transforma ele em um objeto de série temporal. Entretanto, você não deve passar um objeto de série temporal para o lm(), já que o lm vai ignorar o formato de série temporal. Assim, estimar um modelo AR(1) usando lm(y ~ lag(y)) vai gerar uma regressão com coeficiente 1 para lag(y) e \(R^2 = 1\). De fato, a regressão feita foi y em y - o que não é uma regressão muito emocionante.
4.0.1 Testes de hipótese
Suponha que queremos testar a significância conjunta de x.2 e x.3. Precisamos fazer um teste F. Uma maneira é estimar um novo modelo, que chamaremos de reg.2, só com o x.1: reg.2 <- lm(y ~ x.1)
Agora, para testar a significância conjunta de x.2 e x.3 basta fazer anova(reg,reg.2) e o R reportará os valores do teste (incluindo o p valor)
Testes mais gerais também estão disponíveis, pelo pacote car6. O comando é linearHypotesis com o primeiro argumento sendo o objeto com o modelo. O segundo comando é a hipótese que estamos testando, entre aspas, e entramos ele de maneira extremamente intuitiva: suponha que no exemplo acima queremos testar se o coeficiente de x.2 é igual ao coeficiente de x.4. Nesse caso, o comando se resumiria a linearHypotesis(reg,"x.2 = x.4"). Várias opções podem ser usadas, como usar estimadores de erro padrão robustos a heterocedasticidade. Recomendamos que o leitor olhe o help do comando no R.
4.0.2 Erros padrões robustos
Na presença de heterocedasticidade ou autocorrelação, os erros padrões usuais não são confiáveis. Infelizmente, o comando summary não exibe erros robustos por default e nem permite alterar os erros padrões exibidos. Felizmente, o pacote lmtest traz uma opção para o sumário padrão do R. A primeira coisa a fazer é carregar o pacote sandwich (library(sandwich)). O comando é coeftest e a sintaxe é curiosa. No caso do nosso exemplo, se quisermos obter erros robustos a heterocedasticidade:
coeftest(reg, vcov. = vcovHC(reg))Uma explicação: O comando coeftest chama o comando vcovHC do pacote sandwich. Por sua vez, o comando vcovHC precisa saber qual o modelo que vai ter erros robustos. Por isso uma função que recebe uma função. Veja que se quisermos erros robustos a heterocedasticidade e autocorrelação, o comando vira vcovHAC.
4.0.3 Logs
Muitas vezes queremos fazer as regressões não com as variáveis em nível, mas com as variáveis em log. Nesse caso, suponha que queremos a variável dependente - y - em log. Para isso, basta fazer log.y <- log(y) e a variável log.y vai ser a versão em log da variável y. Você pode reescrever a regressão como lm(log.y ~ x.1 + x.2 + x.3).
Agora, pode ocorrer de em alguns casos o vetor y ter algum elemento zero. Mas \(\log(0) = -\infty\). O R tem um elemento Inf (e - Inf) para esses casos, mas o comando lm vai acusar um erro ao receber um vetor com algum elemento Inf. A solução é trocar esse valor para alguma coisa, como um NA, que o R vai ignorar7. Para fazer isso, suponha que o vetor com os Inf seja o log.y do paragrafo anterior. Precisamos explicar para o R quais casos nós queremos substituir, e isso é incrivelmente fácil: assim como podemos usar log.y[1] para escolher o primeiro elemento do vetor log.y, podemos colocar entre colchetes uma condição, por exemplo os elementos do vetor log.y que são iguais a infinito. Já tratamos disso: log.y == -Inf faz esse trabalho. Assim, se quisermos substituir os elementos de log.y que são iguais a -Inf por NA, basta usar o seguinte trecho de código:
log.y[log.y == -Inf] <- NA4.1 Probits e Logits
Probits e logits também são úteis quando nossa variável dependente é uma dummy. Sempre podemos usar um modelo de probabilidade linear, e nesse caso o comando a ser utilizado é o lm. Mas em casos que queremos usar um probit ou logit, precisamos recorrer ao glm, que tem sintaxe muito parecida com o lm. Mas além de especificar as variáveis dependentes e independentes, também precisamos especificar o tipo de regressão, basicamente a distribuição da variável dependente. No caso de probits e logits, a variável dependente tem distribuição binomial. Depois, temos que especificar se a função de probabilidade da variável dependente é probit ou logit. Os comandos para estimar probits e logits são ilustrados abaixo:
mod.1 <- glm(y ~x.1 + x.2 + x.3, family = binomial(link = 'probit'))
mod.2 <- glm(y ~x.1 + x.2 + x.3, family = binomial(link = 'logit'))E como de praxe, podemos usar o comando summary para obter os coeficientes, desvios padrões e estatísticas t.
4.2 Variável instrumental
Métodos de variável instrumental são muito úteis e populares, especialmente em casos de endogenidade. Existem várias implementações, mas para o mínimos quadrados de dois estágios usual, o pacote AER oferece um comando ivreg. A sintaxe é similar ao lm, mas com uma alteração na formula para inserir os instrumentos, que são separados dos regressores por |.
Por exemplo, suponha que temos a variável dependente y, as variáveis endogenas x.1 e x.2, a variável exogena x.3, e os instrumentos z.1 e z.2. Nesse caso, o ivreg seria usado:
modelo <- ivreg(y ~x.1 + x.2 + x.3|z.1+z.2+x.3)E podemos usar o summary para ver o valor dos coeficientes, erros padrão e estatísticas t. Observe que o pacote não mostra o valor do teste F para o primeiro estágio nem de teste de sobre identificação.
4.3 Dados em painel
Em muitas aplicações usamos dados em painel - i.e., com dimensão temporal e cross section. Em geral, esse tipo de aplicação acaba envolvendo o uso de efeitos fixos. Existem duas maneiras de fazer: usando o pacote plm ou “na mão”, usando o lm. Não há nenhuma vantagem de usar o lm “na mão”, em geral, exceto em casos que temos mais de duas dimensões ou por algum motivo o plm não funciona. Exploraremos primeiro o uso do plm, que deve satisfazer a maioria dos usuários. A solução na mão vem depois e pode ser ignorada sem perda de continuidade.
Supondo que o pacote já foi instalado e carregado, precisamos (i) explicar para o pacote quais colunas são as colunas com efeitos fixos de tempo e unidade e (ii) rodar a regressão propriamente dita. Suponha, como de praxe, que temos um dataframe carregado no R com nome “dados”. Suponha que as colunas com as datas e um índice para unidades se chamam datas e unidades, respectivamente. Veja que essas colunas podem estar em formato de carácter, e que isso não deve nos preocupar no momento: poderia ser o caso de a unidade ser estados do país e o código da unidade ser o código do estado (DF,RJ,SP,…). O pacote plm disponibiliza o comando plm.data, que converte um data frame de forma que quando rodarmos a regressão, o R saiba quem são os efeitos fixos. Assim, vamos criar um dataframe chamado dd:
dd <- plm.data(dados,c('unidades','datas'))O primeiro argumento da função é o data.frame a ser convertido, que contém as colunas para as quais criaremos efeitos fixos. O segundo argumento da função são as colunas com os efeitos fixos. Veja que a ordem é unidade e depois a variável temporal. Agora, a estimação do modelo pode ser feita usando o comando plm, que tem sintaxe muito similar ao lm: passamos uma formula com a variável dependente e as independentes, informamos a base de dados - que nesse caso é o objeto dd, não o objeto dados. Mas temos algumas novas opções: o método de estimação (em geral estamos interessados em within, o padrão), mas mais relevante é que efeitos fixos queremos colocar: só para indivíduo, só para tempo ou ambos. Abaixo, mostramos a sintaxe para cada um dos casos, respectivamente:
mod.1 <- plm(y ~x.1 + x.2,data = dd, effect = 'individual')
mod.2 <- plm(y ~x.1 + x.2,data = dd, effect = 'time')
mod.3 <- plm(y ~x.1 + x.2,data = dd, effect = 'twoways')Como de praxe, podemos usar o comando summary para obter um sumário da regressão.
4.3.1 Painel usando lm*
Suponha que não conseguimos usar o plm por alguma razão. Por exemplo, podemos querer três efeitos fixos: se tivermos microdados de escola, podemos querer ter efeito fixo de aluno, escola e tempo. Podemos implementar isso no braço usando o lm. Lembre-se que, no fundo, efeitos fixos são mera dummies, então se fizermos um modelo linear com dummies, devemos obter resultados parecidos.
Para ficarmos em terreno conhecido, suponha que só temos dois efeitos fixos que nos interessam: unidade e tempo. Cada um desses vem codificado em duas colunas: uma com a data e outra com algum código para a unidade. Lembrem-se da discussão no capítulo anterior que o lm é capaz de usar isso e entender como dummies, sem a necessidade de criar várias variáveis com 0 e 1. Logo, se queremos explicar y usando x como variável explicativa e efeitos fixos de unidade e tempo, a seguinte regressão deve bastar:
modelo <- lm(y ~x +tempo + unidade, data = dados)E y,x,tempo e unidade estão no dataframe chamado dados, como de praxe. Algumas diferenças devem ser notadas para o comando plm:
- O sumário vai ser mais confuso no caso do
lm: oplmesconde os efeitos fixos, o que não ocorre no caso dolm
Mas mais importante:
- Devido a maneira como o
plmestima o modelo (por within, em geral), oplmusa menos graus de liberdade e pode fazer estimações mais precisas. Isso deve impactar mais nos desvios padrões que no valor dos coeficientes, especialmente quando o número de variáveis for muito grande.
| Hands on! |
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É uma boa hora de checar se os resultados do plm e do lm são de fato similares. O pacote AER traz a base de dados do exemplo de dados em painel sobre cigarros tirado do livro do Stock e Watson. Para carregar, basta digitar data("CigarettesSW"). Os efeitos fixos são para estado e ano, e vem em colunas com nomes state e year, respectivamente. As variável packs nos traz o número de pacotes consumido naquele ano e estado, e income a renda do estado naquele ano. Uma regressão packs em income com efeitos fixos para estado e ano pode ser feita usando os dois métodos da seção anterior: o plm e o lm. Ambos devem dar, aproximadamente, o mesmo valor para o coeficiente do efeito da renda sobre pacotes \((-9.070e-08)\).
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